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Algunos Mitos Sobre El Infinito - Parte 2

Mito 3: La infinitud de las fracciones es más grande que la infinitud de los números naturales; o sea, ¡hay más fracciones que números enteros!

¿Existe la misma cantidad de fracciones como números enteros? ¿Cómo puede ser demostrado? Bueno, antes de profundizar en los argumentos de la prueba de esta afirmación, veamos algunas peculiaridades de las fracciones.

1. Siempre hay una fracción entre dos fracciones dadas. Esto se puede demostrar de la siguiente manera: supongamos que se dan las dos fracciones a/b y c/d, entonces el "promedio" de las dos fracciones se encuentra en el medio entre ambos. Se puede encontrar por la fórmula simple (ad+bc)/(2bd).

Por ejemplo, entre la fracción 1/3 y 1/4 está la fracción (1x4+1x3)/(2x3x4)= 7/24. Esta última fracción debe estar exactamente a la mitad de 1/3 y 1/4. La posición de la fracciones es difícil de imaginar en la recta de números reales. Por esta razón, vamos a convertir cada fracción a su equivalente decimal, así: 1/3 = 0.333333..., y 1/4 = 0.250000. Pero 7/24 = 0.291666 ... Ahora podemos ver que este número se encuentra exactamente entre las dos fracciones anteriores, porque 0.291666... -1/4 = 1/3 - 0.291666 ...

Entre dos fracciones dadas siempre existe otra fracción en el medio entre ellas.
El centro entre dos fracciones.

La lección aprendida por ahora es que entre dos fracciones podemos indefinidamente encontrar fracciones y más fracciones, sin limitación alguna, y esto es verdad no importa qué tan cerca están las fracciones unas de otras. Tenga en cuenta que la serie de números naturales no tiene esta propiedad: dados dos números naturales no siempre hay otro número entero entre ellos, mucho menos exactamente en el medio de ambos.

Dado que las fracciones pueden ser convertidas a decimales, podemos afirmar la misma propiedad para los decimales que para fracciones: siempre hay un decimal entre dos decimales dados.

2. Las fracciones carecen de la característica de una ser la sucesora de otra. A diferencia de las fracciones, para cada número natural el siguiente número entero es siempre una unidad por delante, lo que es una "propiedad" que podemos llamar "de la sucesión": el número natural n sigue exactamente un número entero, un entero que es exactamente a n + 1. Pero no podemos decir que la "próxima" fracción que sigue a la fracción a/b  es a/b + 1; de hecho, por lo que acabamos de ver, podemos decir que entre a/ b y a/b + 1 hay una infinidad de fracciones. De manera análoga como hemos dicho para las fracciones podemos decir para los decimales lo siguiente: Ningún decimal es el sucesor ni el predecesor de cualquier otro decimal.

En vista de los argumentos anteriores, podemos tener la tentación de proclamar que hay muchos más fracciones de números naturales, ya que por la ausencia de la propiedad de la "sucesión "de las fracciones es imposible contar con ellos. Pero la genialidad de George Cantor viene a rescatarnos de esta lógica de pantano: estamos en un razonamiento "lineal", como en la recta numérica, entonces ¿por qué no razonar "diagonalmente"?

Veamos una disposición peculiar de todas las fracciones positivas posible. Vea que a partir de la fila superior, estamos arreglando todas las fracciones con denominador 1, debajo todas las fracciones con denominador 2, etc. En este esquema, ninguna fracción positiva se queda afuera. Ahora, a partir de la fracción 1/1, si nos movemos en la dirección de las flechas ninguna fracción se quedará fuera.

Prueba visual de que el conjunto de todas las fracciones es infinitamente denumerable.

Veamos una disposición peculiar de todas las fracciones positivas posible. Vea que a partir de la fila superior, estamos arreglando todas las fracciones con denominador 1, debajo todas las fracciones con denominador 2, etc. En este esquema, ninguna fracción positiva se queda afuera. Ahora, a partir de la fracción 1/1, si nos movemos en la dirección de las flechas ninguna fracción se quedará fuera. 

Para enumerar las fracciones, podemos decir que 1/1 es la "primera" fracción, 2/1 es la "segunda" fracción, 1/2 es la "tercera" fracción, etc.

Con esta disposición en zigzag de las fracciones podemos ver que se pueden enumerar usando los números naturales, por lo tanto, las fracciones son infinitamente contables.

Mito 4: Si un vaso es infinitamente largo, entonces debe tener una capacidad infinita; o sea,  si un objeto es infinito, ¿son también todos sus atributos infinitos?

La trompeta del Arcángel Gabriel. En matemáticas, el Cuerno de Gabriel se refiera a una paradoja sobre el infinito.

Esta es una "paradoja" preciosa nada fácil de digerir. Se le conoce comúnmente como la Trompeta de Torricelli en honor a su descubridor, pero mayormente como el Cuerno de Gabriel.

Evangelista Torricelli (1608-1647)  fue un estudiante de Galileo. Torricelli estudió las propiedades de la curva dada por la función recíproca y = 1/f( x ) para el dominio de los números reales desde 1 hasta infinito. Todos estamos relacionados con esa curva por los ejercicios simples del álgebra elemental. Esta es una curva simple y elegante que continua y asintóticamente se acerca al eje-X sin nunca tocarlo.

La gráfica de la función inversa demuestra lo rápido que se puede aproximar al eje de X.

Lo que es interesante de esta curva es que si la curva es rotada alrededor del eje-x, obtenemos la superficie llamada La Trompeta de Torricelli.

El enfoque moderno hacia "La Trompeta de Torricelli" es visualizar este objeto como un sólido que se puede subdividir en losas circulares tanto como lo deseemos. Luego calcular y agregar el volumen y la superficie de cada losa.

La trompeta de Torricelli se genera al rotar la función inversa alrededor del eje de X.

Usando integración —es decir, la suma sucesiva de las superficies y volúmenes infinitesimales— el valor del volumen se acerca al número Número Pi., mientras que la superficie crece sin control hasta el infinito. Pero Número Pi. (Número Pi. = 3,1416 ...) es un número finito, mientras que el infinito no es un número en sí, por lo tanto, ¿cómo pueden coexistir como propiedades del mismo "objeto" o entidad? Esta es la "paradoja": ¿cómo un "objeto" puede tener superficie de delimitación infinita y, al mismo tiempo ser finita en el volumen de su "interior"?

La trompeta de Torricelli vista verticalmente como si fuera uin vaso infinito.

Dado que la trompeta de Torricelli se extiende indefinidamente en posición horizontal, cuando lo giramos hacia abajo la trompeta se convierte en un florero infinito que se extiende hacia abajo sin límite haciendo de ella el vaso infinito del que empezamos a hablar.

La figura de Torricelli es paradójica, ya que tiene los atributos de tener un volumen finito y la superficie infinita, al mismo tiempo. Nuestra intuición espera que las superficies infinitas son necesarios para incluir los objetos infinitos solamente, mientras que al mismo tiempo, nuestra intuición nos dicta que los volúmenes finitos puede ser limitados por superficies finitas solamente.

Sin embargo, un volumen de sólo Número Pi. unidades puede ser fácilmente contenido por muchos tipos de formas. Por ejemplo, un cilindro de altura y radio de la unidad 1 contiene un volumen exacto de Número Pi. unidades como el cuerno de Torricelli hace.

Volumen y superficie de un cilindro regular.

La fórmula para el volumen de un cilindro es:

V = Número Pi.×r2 ×h

donde r es el radio del cilindro y h es su altura. Por esta fórmula, el volumen contenido por un cilindro "unitario" es exactamente Número Pi., tal como en el Cuerno de Gabriel.

Por otro lado, la superficie necesaria para incluir y mantener este volumen no es infinita. Tomemos la superficie curva lateral y olvidemos por un momento las caras superior e inferior. El área de esta cara redonda es sólo

S = 2×Número Pi.×r×h

así que el área es  2 × Número Pi..

Tenga en cuenta que si este cilindro se estira hacia abajo siguiendo la función inversa como Torricelli hizo, obtendremos el mismo "cuerno", como el que Torricelli obtuvo: el volumen se conserva, pero el lateral redondeado llegará a ser infinito.

Para ver las anteriores paradojas vaya a: Algunos mitos sobre el infinito.