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Algunos Mitos Sobre El Infinito

¿Puede el infinito definirse brevemente, o se requiere una definición infinita? Esperemos que la primera alternativa sea suficiente. En ese caso, vamos a restringirnos al conjunto infinito de los números naturales para la mayoría de nuestros ejemplos, ya que representan el caso más simple de la infinitud.

Los números naturales son los enteros que utilizamos a diario para contar como 1, 2, 3, ... etc. El agregado de todos los números naturales es por lo general representado por el símbolo N, aunque a veces también es simbolizado por el símbolo Z+ para indicar claramente que estamos dejando de lado el entero cero (0). La serie de los números naturales no se termina nunca porque para cualquier número n dado que siempre es posible agregar uno para encontrar su sucesor n +1. Como esta serie no se termina nunca es por eso que la llaman "infinito ". A veces, esto es también denotado como 1, 2, 3 ... ∞, pero hay que tener en cuenta que el infinito no puede ser adecuadamente representada por cualquiera de los símbolos, porque el símbolo ∞ no es una entidad aritmética que se puede manipular con las operaciones matemáticas comunes.

Otra forma de definir la infinitud de los números naturales es el siguiente: 2 es el sucesor de 1, 3 es el sucesor de 2, 4 es el sucesor de 3, etc. Por lo tanto, 3 es el sucesor del sucesor de 1, 4 es el sucesor del sucesor del sucesor de uno. Por lo tanto, N es la colección o conjunto, o colección de todos los sucesores de 1.

N = {1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, ...}.

Por lo tanto, la infinitud de los números naturales no es más que la colección de todo los posibles sucesores del elemento unitario 1.

No podemos probar que los números naturales son infinitos, las tomamos como la definición de la infinitud. El conjunto de los números naturales son el "criterio estándar" para medir otras infinidades.

Dar un símbolo —como N— para el agregado de todos los números naturales no hacen este conjunto más comprensible que no nombrarlos a todos. Cada infinitud es intrínsecamente incomprensible, la razón de esto nadie lo sabe, pero el papel de la idioma puede ser una barrera importante porque nuestras lenguas, —todas ellas, ya sean oral, escrita, simbólica o no— son herramientas para la manipulación de lo finito y limitada objetos de uso cotidiano, y por lo tanto, las relaciones abstractas entre ellas es forzosamente limitada.

El concepto de lo infinito no es exclusivo de las matemáticas. La humanidad ha encontrado aplicaciones de la misma al mundo esfera espiritual invisible, el universo cosmológico físico y visible, a lo ilimitadamente grande, y a lo infinitamente pequeño de lo submicroscópico y subatómicos  Pero sin importar qué dirección de pensamiento seguimos, podemos estar seguros de que no importa las manipulaciones y el razonamiento en que nos involucramos, nadie entiende realmente o comprender lo que es el infinito.

El concepto de lo infinito siempre ha sido fuente de muchas controversias, paradojas, contradicciones, y mitos en las ciencias, el arte, y en la literatura. Aquí vamos a ver algunos ejemplos de cómo nuestra mente se marea con el concepto de lo ilimitado, y lo inalcanzable.

Mito 1: Si a un infinito le quitamos un número infinito de elementos, el conjunto  restante que queda no puede ser infinito; o, ¿puede ser, a veces, una parte igual que el todo?

Vamos a tomar el conjunto de todos los números naturales N = {1, 2, 3 ...}. Cada elemento de este conjunto es par o impar, los números impares son 1, 3, 5, ... y los pares son 2, 4, 6, ... Los números que llamamos pares son los divisibles por 2. Por lo tanto cada número natural es o divisible por dos, o no. Los que no son divisibles por 2 son los números impares.

Número naturales = números impares + número pares  

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ...} = {1, 3, 5 ...} + {2 4, 6, ...}.

Los números pares son infinitos porque no hay fin apara esa serie. Lo mismo con el conjunto de números impares: no hay manera de llegar al último número impar. Así, N es la suma de dos conjuntos infinitos, el conjunto de los números impares, más el conjunto de los números pares.

Si le quitamos el conjunto infinito de los números pares al conjunto infinito de los números naturales nos quedamos con una infinidad de números impares.

{1, 3, 5 ...} = N − {2, 4, 6 ...}

A un comportamiento similar nos enfrentamos si le quitamos el conjunto de los impares al conjunto N.

Por lo tanto, no es necesariamente cierto que si partimos un infinito en dos partes las dos partes ya no son infinitas. Por supuesto, a veces esto puede ser cierto, a veces podemos eliminar un número infinito de elementos de N y el conjunto restante ya no es infinita.

Por ejemplo, denotemos por T el conjunto de todos los números naturales mayores de 10: T = {11, 12, 13 ...}. Obviamente, T es un conjunto infinito. Cuando restamos T de N nos quedamos con el conjunto finito {1, 2, 3 ... 7, 8, 9}.

Mito 2: El número de granos de arena es infinito; o, ¿es el infinito una cantidad que no podemos enumerar?

Este es un mito clásico. Probablemente, todos nosotros, en algún momento de nuestra vida, ha pensado que los granos de arena son infinitos..

Portada del libro EBook de Arquímides: The Sand Reckoner.

Arquímides, es el primero en ser documentado en enfrentar las matemáticas necesarias para demostrar que es imposible que la arena sea infinita. Estrictamente hablando, lo que él demostró es que podemos contar los granos de arena cuántos granos de arena pueden caber en el universo, sin importar cuán grande éste sea. Es su tiempo, el universo observable se llegaba hasta Saturno (como estrella movible). Las matemáticas necesarias para llegar a su conclusión son simples, pero las ingeniosas extensiones que él inventó para las matemáticas de su tiempo fue una contribución enorme. Usted puede descargar su siempre famoso libro The Sand Reckoner  (El contador de arena) en nuestro website paralelo.

Arquímides empieza de esta manera:

HAY algunos, rey Gelón, que creen que el número de la arena es infinito en multitud, y digo por la arena, no sólo lo que existe alrededor de Siracusa y el resto de Sicilia, pero también lo que se encuentra en todas las regiones habitadas o si deshabitadas.

Ahora procede a establecer la diferencia entre ser infinito y no ser capaz de contar grandes cantidades ...

Una vez más hay algunos que, sin considerarlo como infinito, sin embargo creen que ningún número ha sido nombrado que sea lo suficientemente grande como para exceder su multitud. Y está claro que los que sostienen esta opinión, si se imaginaban una masa compuesta de arena, en otros aspectos tan grande como la masa de la Tierra, incluyendo en ella todos los mares y los huecos de la tierra llena hasta una altura igual a la de la más alta de las montañas, estarían lejos aún de reconocer que cualquier número pueda superar multitud de la arena de tal cantidad de arena.

Ahora Arquímedes procede a indirectamente establecer que si usted puede contar 1, 2 o 3 granos de arena, entonces es una cuestión de la ampliación de cualquier sistema numérico para ser capaces de contar hasta cualquier número deseado.

Pero voy a tratar de mostrar por medio de demostraciones geométricas, que podrás seguir, que, de los números nombrados por mí y que figuran en la obra que he enviado a Zeuxipo, algunos superar no sólo el número de la masa de arena igual en magnitud a la tierra que se llenó de la manera descrita, sino también la de una masa igual en magnitud al universo.

Ahora Arquímides establece que el tamaño del "universo" es sólo cuestión de definición ya que el "universo" no es un objeto que pueda ser objetivamente medido.

Ahora usted está consciente de que 'universo' es el nombre dado por la mayoría de los astrónomos a la esfera cuyo centro es el centro de la Tierra y cuyo radio es igual a la línea recta entre el centro del sol y el centro de la tierra. Esta es la historia común como has oído de los astrónomos. Sin embargo, Aristarco de Samos sacó un libro compuesto de algunas hipótesis, en el que las premisas le conducen al resultado de que el universo es muchas veces mayor que el que ahora conocemos. Sus hipótesis son que las estrellas fijas y el sol permanecen inmóviles, que la tierra gira alrededor del Sol en la circunferencia de un círculo, el sol yace en medio de la órbita, y que la esfera de las estrellas fijas, situada sobre la misma centro como el sol, es tan grande que el círculo en el que se supone que la tierra gire guarda tal proporción a la distancia de las estrellas fijas como el centro de la esfera lleva a su superficie.

Ahora es fácil ver que esto es imposible, porque, dado que el centro de la esfera no tiene magnitud, no podemos concebir que tenga relación alguna con la superficie de la esfera. Sin embargo debemos aceptar a Aristarco decir esto: ya que conciben la tierra como es, por así decirlo, el centro del universo, la relación que la tierra lleva a lo que describen como el «universo» es la misma que la relación que de la esfera que contiene el círculo en el que se supone que la tierra gira lleva a la esfera de las estrellas fijas. Para que se adaptan las pruebas de sus resultados a una hipótesis de este tipo, y, en particular, que parece suponer la magnitud de la esfera en la que representa la tierra como mudarse a ser igual a lo que llamamos el 'universo'.

Arquímedes continúa con un arreglo aritmético de las órdenes y los períodos que resulta en que las estimaciones de los granos de arena en alrededor de 1063. Este número es uno muy grande, de hecho, pero finito e igualmente contable.

No importa el curso de pensamiento que Arquímedes pensaba seguir, una cosa está clara: los granos de arena de todos nuestros mares y todas las playas de los océanos, más los granos de arena de los desiertos de la tierra es mucho menor que los granos de arena necesarios para llenar una esfera del tamaño de la órbita de nuestro planeta.

Por lo tanto, los granos de arena no son infinitos.

Para ver las siguientes paradojas vaya a: Algunos mitos sobre el infinito - parte 2.