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Breve Historia De Las Coordenadas Cartesianas

Portada de una de las ediciones del libro "Geometría" de Descartes.

Portada de una de las ediciones de la Geometría de Descartes

S e dice que la geometría comenzó a ser analítica con la publicación de obra maestra en 1637 de René Descartes (1596-1650): Discurso del Método. En un apéndice del discurso, titulado La Géométrie, que incluye las aplicaciones del álgebra a la geometría, está incluido un impulso a la utilización de la geometría para resolver algunos problemas algebraicos.

Casi simultáneamente, Pierre de Fermat (1601-1665), un ciudadano contemporáneo, estaba haciendo la investigación en curvas especiales y sus soluciones geométricas. Algunos autores afirman que el descubrimiento de la base de un sistema de coordenadas para trazar las curvas y encontrar soluciones a la ecuación algebraica debe atribuirse a Fermat y no a Descartes, porque Fermat tenía una visión más geométrica que Descartes. Sin embargo, incluso antes de los dos, algunas formas rudimentarias de resolver problemas geométricos se atribuyen a ser utilizadas por Apolonio en Grecia casi dos mil años antes. La simultaneidad de los descubrimientos no son tan raros en la ciencia. Otro descubrimiento casual en matemáticas es la invención del cálculo moderno de Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), el primero en Inglaterra y Leibniz en Alemania.

E. T. Bell1, un historiador de las matemáticas, escribe lo siguiente sobre la controversia Fermat-Descartes: 

No hay duda de que él precedió a Descartes. Pero a medida que su trabajo de cerca de 1629 no se comunicó a los demás hasta 1636, y fue publicada póstumamente sólo en 1679, no podía haber influido a Descartes en su propia invención, y Fermat nunca dio a entender que la tenía..

Más explícitamente, James Newman2, expresando su pensamiento acerca de a quién debe atribuirse del "moderno" sistema de coordenadas asevera:

Fermat puede haber precedido a Descartes al señalar los problemas de máximos y mínimos, pero Descartes, fue mucho más allá que Fermat en el uso de símbolos, en "aritmetizar" la geometría analítica, y extenderlas a la ecuaciones de grado superior. La fijación de la posición de un punto en el plano mediante la asignación de dos números, co-ordenadas, dando su distancia a las líneas perpendiculares entre sí, era totalmente invención de Descartes.

Con el fin de desarrollar un sistema de coordenadas geométricas útiles para resolver problemas matemáticos relacionados con la geometría y la física dos importantes pasos son necesarios: el reconocimiento del cero como un número, y la introducción de los números negativos. Tenga en cuenta que la matemática se inventó para resolver los problemas de la vida real, y ninguno de los conceptos mencionados provienen de la realidad cotidiana. Un claro ejemplo de ello es la "matemáticas" romana en el que no tenía ningún símbolo ni número para el número cero, mucho menos para los números negativos. 

El número cero no tiene ninguna cero-historia, por el contrario, su utilización, la manipulación y el rechazo se ha remontado hasta el comienzo de la civilización misma. Alguna forma de aceptación se encuentra en Grecia, la India, Babilonia. Por otro lado, la matemática griega no tenía los números negativos, por lo tanto, en los casos en los que utiliza la geometría para resolver algunos problemas, los conceptos de ordenadas y abscisas se aplican a posteriori y no a priori cuando se trabaja con un problema.

Con la aceptación de los números negativos la historia es similar: algunos matemáticos se opusieron a la existencia de números de "bajo cero". Otros consideran que la sustracción de cero era "sin sentido".

Puede sonar extraño, pero Descartes nunca utilizó "las coordenadas cartesianas" en su tratado de 1637 ni en su vida; él escribió sobre "coordenadas" en el sentido de las distancias para describir el lugar de una curva, y más aún, él no utilizó distancias negativas. Citando a Bell acerca de esto:

En detalles, la presentación de Descartes difiere de la actual de ahora. Así que él usó un eje-x y no se refirió al eje-y. Para cada valor de x él calculaba la y correspondiente de la ecuación, obteniendo así las coordenadas x e y. El uso de dos ejes, obviamente, no es una necesidad, sino una conveniencia. En nuestra terminología, él utilizó el equivalente a dos ejes rectangulares y oblicuos.

En los trabajos de Descartes todo estaba medido en distancias positivas. Luego, Bell escribe:

El consideró las ecuaciones sólo en el primer cuadrante, como lo fue desde allí que ytrasladó la geometría hacia el álgebra. ... A mediada que geometría analítica evolucionó los números negativos se usaron sin miedo, y la restricción se suprimió.

Respecto al estudio de la correlación entre la geometría y el álgebra, hubo algunos predecesores en ese campo. Citando a Newman, de nuevo, desde su Comentario sobre Descartes y Geometría Analítica:

El estudio de las curvas por medio de sus ecuaciones, definido como la "esencia" de la geometría analítica, fue conocido por los griegos ... Menecmo, el tutor de Alejandro Magno, tiene fama de haber hecho este descubrimiento. Entre otros predecesores de Descartes fueron el teólogo francés Nicole Oresme, cuyo sistema de "latitudes y longitudes" más o menos anunciaba "el uso de coordenadas en la representación gráfica de funciones arbitrarias", y François Viète, el consejero del siglo XVI del Rey de Francia, cuya mejora en la notación facilita considerablemente el desarrollo del álgebra.

Newton introdujo el uso de los ejes positivos y negativos a las coordenadas cartesianas.

Figura del Enumeration de Newton donde él usa el eje-X, el eje-Y, el origen O, cerca de 1760.

El primer uso de coordenadas negativas se atribuye a Isaac Newton (1642-1727) en una colección de figuras y gráficos de los polinomios de tercer grado de su libro Enumeratio linearum tertii ordinis, o Enumeración de las curvas de tercer grado

En esta publicación Newton utilizó ejes perpendiculares e incluía ambos números positivos y negativos. De hecho, en algunas de las figuras que utiliza la letra mayúscula X de la etiqueta del eje horizontal, la letra mayúscula Y para el eje vertical, e incluso la letra mayúscula O para que marcar el punto de intersección de ambos ejes. En algunos bocetos que no incluye ninguna de las etiquetas.

La sistematización del presente sistema de coordenadas usando ejes perpendiculares encontrados en un común "origen " es el resultado final de la actividad humana a través de más de dos milenios para dar un significado real a los problemas matemáticos que dan resultados cero o negativos.

E. Pérez
02-11

Referencias impresas:

[1] Bell E. T. (1945). Development of Mathematics. 2nd. ed. McGraw-Hill Book Company. New York.

[2] Descartes, Rene. (1956). The Geometry. In James R. Newman (Ed.) The World of Mathematics. Vol. 1. (pp. 235-253). Simon and Schuster. New York.

Referencias en línea:

Newton, Sir Isaac. (c. 1760). Enumeration Of Lines Of The Third Order, Generation Of Curves By Shadows, Organic Description Of Curves, And Construction, Of Equations By Curves. Retrieved 2007 from the digital version at Google Book Search at http://books.google.com/books?id=6I97byFB3v0C&dq=newton+enumeration+curves.