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Los Números Imaginarios no son tan imaginarios, y los Números Complejos no son tan complejos

¿Pueden los astrónomos bregar con estrellas imaginarias o con galaxias imaginarias? ¿Pueden los físicos trabajar con manzanas imaginarias que caen? ¿Puede un agrimensor medir un lote imaginario o medir un lote vacío imaginario? Si las respuestas a las preguntas anteriores es 'no', entonces ¿cómo es que los números imaginarios son tan importantes en matemáticas, hasta el punto de que los matemáticos dicen que algunos problemas no pueden resolverse sin la ayuda de los números imaginarios?

La necesidad de los números negativos

Para ver cómo los números imaginarios surgieron, vamos a ver primero por qué los números negativos son necesarios. Echémosle un vistazo a la siguiente ecuación:

La ecuación: x menos uno es igual a cero..

Obviamente, podemos resolver esa ecuación con la ayuda de los números positivos solamente. De hecho, la solución es x es igual a uno.. Ahora, tomemos esta otra:

La ecuación: x más uno es igual a cero..

Ahora tenemos una situación donde el conjunto de los números naturales no basta; recordemos que los naturales son los números  1, 2, 3 ...  Pero las matemáticas son una creación humana, así que podemos extender el conjunto de los naturales para incluir las posibles soluciones a este caso.  

Denotemos la solución por un símbolo arbitrario, como el signo de pregunta (?). Tendríamos entonces que la solución a la ecuación  La ecuación: x más uno es igual a cero.  sería simplemente La ecuación: x es igual ¿a qué?  

Pero en momento u otro habremos de tener una o más instancias de la misma ecuación, como La ecuación: x más dos es igual a cero., y así sucesivamente. Entonces, para mantener consistencia con el simbolismo tenemos que decir que la ecuación: x es igual a ¿qué, qué?, y así sucesivamente.

Sin embargo, podemos lograr algunos avances si reciclamos algunos símbolos de los números naturales y decimos que: La ecuación: x es igual a ¿qué? dos.. En este punto nos damos cuenta de que el símbolo de pregunta que inicialmente adoptamos, debe ser reemplazado por otro, digamos, el símbolo:  . Entonces, la solución de la ecuación anterior  La ecuación: x más uno es igual a cero.resulta ser La ecuación: x es igual a uno., la solución de la ecuación La ecuación: x más dos es igual a cero.pasa a ser La ecuación: x es igual a negativo dos., y así sucesivamente. Nuestra base de enteros ha sido ampliada, y ahora podemos resolver más ecuaciones que cuando empezamos.

Extender un sistema numérico es más complicado que los pasos que dimos anteriormente, pero, a modo de introducción, el lector puede ver los primeros pasos para lograrlo. En cuanto a cualquiera de los tipos de las ecuaciones anteriores se refiere, podemos resolver cualquiera de ellas con el conjunto de los números naturales, el cero y los números negativos recién inventados. El término "negativo" es una cuestión de gusto, podrían haber sido llamados el "opuestos" o los números de "anti-naturales".

Ahora, con el conjunto de todos los números naturales, más el cero, más el conjunto de todos los números negativos, estamos equipados para resolver muchas más ecuaciones, pero no todas las ecuaciones.

Más allá del conjunto de todos los enteros

La interpretación geométrica de la raíz cuadrada de dos.

Interpretación geométrica de El símbolo para la raíz cuadrada de dos..

Hemos visto cómo al extender el conjunto de todos los números naturales fue de alguna ayuda en la resolución de algunas ecuaciones simples. Sin embargo, esto dista mucho de ser suficiente, por lo tanto a lo largo de la historia de las matemáticas, más extensiones como ésta se le han hecho al sistema de numeración, cada vez añadiendo un nuevo tipo de número que resulta adecuado para necesidades imprevistas. Vale la pena mencionar la ampliación hacia los números racionales, que cubre las fracciones, los números irracionales, útiles para resolver extrañas raíces de números, números que no puede ser expresados como el cociente de dos números enteros, como El símbolo de la raíz cuadrada de dos., y los números trascendentales, como El número Pi..

¿Por qué algunos números son llamados "racionales" y otros son llamados "irracionales"? Para decirlo simple, es un asunto de la operación de la división de los números. Los números que pueden expresarse como el cociente de otras dos son "racionales". Por ejemplo, 2.5 y 7 son números racionales, ya que se puede expresar como la división 5/2 y 7/1 respectivamente. Así, cada fracción y cada número entero, sin importar si son positivos o negativos es racional.

Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse como el cociente de otros dos. El ejemplo clásico esEl símbolo de la raíaz cuadrada de dos., no hay manera de encontrar dos números p y q tal que p/q = El símbolo de la raíaz cuadrada de dos. Hay varias demostraciones, algunas de ellas desde la antigüedad, que demuestran queEl símbolo de la raíaz cuadrada de dos. no puede ser expresado como el cociente de dos números.

A lo más, la raíz cuadrada de 2 se puede aproximar por algunos racionales; entre los más simples está  99/70.

La fracción 99/70 es una buena aproximación de la raíz cuadrada de 2.

La barra sobre los dígitos es para denotar que esa cadena de dígitos se repite continuamente en ese decimal recurrente.

El número Pi (Símbolo del número Pi.), en sus primeros 12 decimales es 3.141592653589, y en su aproximación de 22/7 es 3.142857142857. La fracción 22/7 repite sus primeros 6 dígitos decimales, como cualquier otra fracción que eventualmente repite sus dígitos, pero el valor puro de Símbolo del número Pi nunca se repite. Otro tipo de números irracionales son los llamados números trascendentes. La base del logaritmo natural, denotado por el símbolo Símbolo del número e. es un ejemplo de un número irracional trascendente. 

Los números racionales y los irracionales, junto con sus operaciones, es lo que constituye el sistema de los números reales. Los números reales son los "puntos" que se asignan en la recta numérica, también conocida como el eje X en el sistema numérico cartesiano de coordenadas.

La recta numérica entre negativo 3 y positivo 3 con algunos números racionales e irracionales entre ellos.

Los números imaginarios

No importa las extensiones y adiciones al sistema de los número naturales, eventualmente extendiéndolo hasta el sistema de los números reales refinados, todavía hay muchas ecuaciones que no se pueden resolver con los reales. Un simple ejemplo lo demostrará:

La ecuación: x al cuadrado más uno es igual a cero..

No hay manera de resolver esta ecuación simple con los números reales. ¿Qué número x, llevado al cuadrado es igual al uno negativo, de tal manera que esta ecuación se pueda resolver?

La solución a este problema no es tan simple. ¿Tenemos que repetir los pasos que seguimos cuando se extendimos los números naturales a los enteros negativos? Podemos decir que La ecuación: x es la raíz cuadrada de negativo uno. y problema resuelto? Esta solución no es tan intuitiva como cuando extendimos los números naturales a los enteros negativos. El problema surge porque La ecuación: x es la raíz cuadrada de negativo uno. no es ni un positivo ni un negativo real: recordemos que 12 = 1 y (-1)2 = 1. La segunda objeción es que si no hay ningún tipo de real, entonces no hay lugar para La ecuación: x es la raíz cuadrada de negativo uno.en la recta numérica. Entonces, ¿dónde ponemos Símbolo de la raíz cuadrada de -1?

Hubo varios intentos antes de 1799 para entender las raíces negativas, pero fue el rol de Caspar Wessel en ese año que la interpretación geométrica de Símbolo de la raíz cudrada de -1. comenzó a despejar el camino para la aceptación de un concepto tan extraño. En las palabras de Nahin's2

Más de un centenar de años después del intento valiente pero erróneo de Walli de domar geométricamente los números complejos, el problema fue de repente y sin dramatismo bastante resuelto por el noruego Caspar Wessel (1745-1818). Esto es muy notable e, irónicamente, comprensible, si tenemos en cuenta que Wessel no era un matemático profesional, sino un agrimensor. Wessel irrumpió a través de un problema que había dejado perplejos a una gran cantidad de mentes brillantes, de hecho, motivado por los problemas prácticos que enfrentaba todos los días en la elaboración de mapas..

La interpretación geométrica de los números complejos de Wessel se usa todavía.

La geometría de Wessel de los números complejos todavía se usa.

La contribución de Wessel fue esencialmente usar el eje Y como eje de los imaginarios. Despojado de todos los previos atributos de misticismo esoterismo, los números imaginarios pueden ser considerados como si fueran tan reales como los números "reales" . Pero cuando los números imaginarios son realmente útiles es cuando se manejan junto con los reales. Esta combinación define el plano complejo. Esta combinación es el llamado plano complejo porque una parte es real y el otra es imaginaria. Por lo tanto, un número complejo es un par de números

Los números complejos se pueden sumar de manera similar a como cuando sumamos los números reales. Si A = a + ib  y C = c + id son números complejos, su adición es simplemente A + C  = (a + c) + i(b + d). Pero la multiplicación de A por B puede ser un poco extraña: A * B = (ac -bd) + i(ad - bc). Con esta definición de número complejo el conjunto de todos los números reales resultan ser un mero subconjunto del conjunto de todos los números complejos. 

Visto de cerca se puede observar que lo que más define un sistema de números son las operaciones definidas en él. Si la multiplicación de los números complejos se define de manera diferente, entonces no se podría decir que un número real no es más que un número complejo con parte imaginaria nula, o que un número imaginario es simplemente un número complejo sin parte real.

Al final de esta corta expedición hemos visto que son los tradicionales vocablos de "imaginario" y "complejo" lo que complica nuestro entendimiento de sencillo y bello campo de las matemáticas.

Todo es real y sencillo, aún lo imaginario y lo complejo.

E. Pérez
04/11

Referencias impresas:

[1] Beckmann, Petr. A History of El número Pi.. The Golem University Press. New York. 1971.
 
[2] Nahin Paul J. An Imaginary Tale: The story of La raíz cuadrada de negativo uno.. Princeton University Press. New Jersey. 1998.